by Trong bài viết này sẽ nói đến ứng dụng của đạo hàm đó là tìm giới hạn của hàm số. Dựa vào những công thức đạo hàm đã học ta sẽ tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, các giới hạn đặc biệt. Để học tốt bài này, em cần không chỉ nắm vững kiến thức đạo hàm cơ bản mà còn phải hiểu rõ lý thuyết về giới hạn.
Mục lục
Cơ sở lý thuyết
Từ định nghĩa đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}\),ta thấy có thể sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số. Cụ thể
Để tính $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{g(x)}}{{x – {x_0}}} $, biết $g({x_0}) = 0 $.
Ta viết $g(x) = f(x) – f({x_0}) $. Khi đó nếu f(x) có đạo hàm tại ${x_0} $ thì: $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = f'({x_0}) $.
Để tính: $B = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{F(x)}}{{G(x)}} $, biết $F({x_0}) = G({x_0}) = 0 $.
Ta viết $F(x) = f(x) – f({x_0}) $ và $G(x) = g(x) – g({x_0}) $.
Nếu hai hàm số $f(x),g(x) $ có đạo hàm tại $x = {x_0} $và $g'({x_0}) \ne 0 $ thì: $B = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}}}{{\frac{{g(x) – g({x_0})}}{{x – {x_0}}}}} = \frac{{f'({x_0})}}{{g'({x_0})}} $.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm giới hạn $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + 3x)}^3} – {{(1 – 4x)}^4}}}{x} $ bằng cách sử dụng đạo hàm
A.25
B.26
C.27
D.28
Hướng dẫn giải
Xét hàm số \(f(x) = {(1 + 3x)^3} – {(1 – 4x)^4} \Rightarrow A = f'(0) = 25\)
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2x – 1}} – 1}}{{1 – \sqrt {2 – {x^2}} }} $
A.\(\frac{2}{3}\)
B.1
C.2
D.\(\frac{3}{2}\)
Hướng dẫn giải
Đặt $f(x) = \sqrt[3]{{2x – 1}} – 1 \Rightarrow f'(x) = \frac{2}{{3.\sqrt[3]{{{{(2x – 1)}^2}}}}} \Rightarrow f'(1) = \frac{2}{3} $
và $g(x) = 1 – \sqrt {2 – {x^2}} \Rightarrow g'(x) = \frac{x}{{\sqrt {2 – {x^2}} }} \Rightarrow g'(1) = 1 $.
$\begin{array}{l}A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) – f(1)}}{{g(x) – g(1)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}}}}{{\frac{{g(x) – g(1)}}{{x – 1}}}} = \frac{{f'(1)}}{{g'(1)}} = \frac{2}{3}\end{array} $.
Ví dụ 3. Cho giới hạn $C = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{26{x^3} + 1}} – \sqrt[4]{{80{x^4} + 1}}}}{{\sqrt x – 1}} $. Dựa vào đạo hàm để tìm giới hạn trên
A.\(\frac{{ – 4}}{{27}}\)
B.1
C.2
D.\(\frac{4}{{27}}\)
Hướng dẫn giải
Đặt $g(x) = \sqrt x – 1 \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }} \Rightarrow g'(1) = \frac{1}{2} $ và
$\begin{array}{l}f(x) = \sqrt[3]{{26{x^3} + 1}} – \sqrt[4]{{80{x^4} + 1}}\\ \Rightarrow f'(x) = \frac{{26}}{{\sqrt[3]{{{{(26{x^3} + 1)}^2}}}}} – \frac{{80{x^3}}}{{\sqrt[4]{{{{(80{x^4} + 1)}^3}}}}}\end{array} $
$ \Rightarrow f'(1) = \frac{{ – 2}}{{27}} $.
Khi đó: $C = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}}}}{{\frac{{g(x) – g(1)}}{{x – 1}}}} = \frac{{f'(1)}}{{g'(1)}} = – \frac{4}{{27}} $.
Ví dụ 4. Hãy dùng đạo hàm để tìm giới hạn sau \(E = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{4 – 2x + {x^2}}} – \sqrt[3]{{4 + 2x + {x^2}}}}}{{\sqrt {2 + x} – \sqrt {2 – x} }}\)
A.\(\frac{{\sqrt[3]{4}.\sqrt 2 }}{3}\)
B.\( – \frac{{\sqrt[3]{4}.\sqrt 2 }}{3}\)
C.\( – \frac{{\sqrt[3]{4}}}{3}\)
D.1
Hướng dẫn giải
Xét hai hàm số $f(x) = \sqrt[3]{{4 – 2x + {x^2}}} – \sqrt[3]{{4 + 2x + {x^2}}} $
\(g(x) = \sqrt {2 + x} – \sqrt {2 – x} \)
Ta có: \(E = \frac{{f'(0)}}{{g'(0)}} = – \frac{{\sqrt[3]{4}.\sqrt 2 }}{3}\).
Ví dụ 5. Tính giới hạn sau : \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2{x^2}} – \sqrt[3]{{1 + 3{x^2}}}}}{{1 – \cos x}}\)bằng công thức đạo hàm đã được học
Hướng dẫn giải
Ta có: \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sqrt {1 + 2{x^2}} – \sqrt[3]{{1 + 3{x^2}}}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{\frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{x^2}}}}}\).
Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{x^2}}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}} \right)^2} = \frac{1}{2}\).
Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2t} – \sqrt[3]{{1 + 3t}}}}{t} = 0\).
Vậy \(A = 0\).
Hy vọng với phần hướng dẫn chi tiết từ cơ sở lý thuyết đến bài tập vận dụng sẽ giúp em tìm được giới hạn hàn số một cách nhanh. Mọi thắc mắc em vui lòng để lại phần dưới bình luận để admin có thể trả lời chi tiết. Chúc em học tốt
